КОММУТАТИВНОСТЬ

позднелат. commutativus – подвергающийся перемещению, от лат. commuto – меняю, обмениваю) – свойство нек-рых бинарных (т.е. двучленных, двуместных) логич. и математич. операций или функций, состоящее в том, что результат применения данной операции к предметам а и b, взятым в одном порядке, совпадает с результатом применения той же операции к тем же предметам, взятым в обратном порядке. К. выражается обычно формулами вида ab=ba, в к-рых вместо стоят знаки рассматриваемых операций. Операция, обладающая свойством К., наз. коммутативной. Предложение (или формула), выражающее свойство К. для данной операции, наз. обычно з а к о н о м К. (или переместительным законом) этой операции. Широко известны законы К. для сложения и умножения в обычной арифметике: а+b = b+а и а·b=b·а или, говоря словами, "при перестановке слагаемых (сомножителей) сумма (соответственно произведение) не меняется". В логике свойством К. обладают, напр., конъюнкция и дизъюнкция (как неразделительная, так и разделительная), что отражает то свойство союзов "и" в "или" естеств. языка, к-рое проявляется в равнозначности таких, напр., предложений, как 1) "Москва – большой город и столица СССР" и "Москва – столица СССР и большой город" или 2) "Сегодня мы пойдем на выставку или в театр" и "Сегодня мы пойдем в театр или на выставку"; коммутативной является также операция эквивалентности (эквиваленция) и нек-рые др. логич. операции (напр., штрих Шеффера). Существует ряд обобщений понятия К. (называемых симметричностью) на отношения (понимаемые как логич. функции) и многоместные операции. Напр., двуместное отношение R на нек-ром множестве D понимают часто как множество упорядоченных пар элементов множества D. При этом пару, имеющую элемент x первым своим членом, а элемент у – вторым, обозначают . Говорят, что пара принадлежит R, или символически ? R, если x находится в отношении R к y. Условие симметричности (К.) отношения R можно записать тогда в виде след. предложения: R симметрично, если и только если из того, что ? R, следует, что ? R. Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., ч. 1–2, М.–Л., 1947; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 109, 168. Б. Бирюков, М. Новоселов. Москва.