НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

свойство дедуктивной (в частности, формальной) теории, содержащей понятие (символ) отрицания, состоящее в том, что в ней не доказуемо никакое противоречивое предложение (формула; в дальнейшем под "предложением" будут пониматься как высказывания, выражающие суждения, так и формулы исчислений), т.е. предложение вида А&А ("А и не-А"), или (что то же самое) в ней нельзя доказать двух теорем, одна из к-рых является отрицанием другой (термин "Н." относят иногда и к недедуктивным теориям – в таком же смысле, но с заменой понятия "доказуемость" на к.-л. др. подходящее к рассматриваемому случаю понятие; аналогичным образом говорят о Н. концепций, точек зрения и т.п., подразумевая под этим отсутствие – или невозможность – противоречия). Наличие (или возможность) противоречия (противоречивость) дедуктивной теории, построенной в соответствии с логикой, включающей принцип А&A?B ("из противоречия следует любое утверждение") и правило modus ponens: А, A?BВ, означало бы, что любое предложение, сформулированное на языке этой теории, доказуемо (т.е. является ее теоремой). Подавляющее большинство дедуктивных теорий строится на основе классич. логики или интуиционистской логики (см. Логика высказываний, Интуиционизм), включающих указ. принцип, так что для таких теорий наличие недоказуемого предложения может быть принято за определение Н. В этом случае становится более отчетливым значение понятия Н. – теория, в к-рой доказуемо любое утверждение, не представляет никакого практич. интереса, поскольку доказуемость есть в нек-ром смысле реализация (более или менее приблизительная) интуитивных, содержательных представлений об истинности. Если логика рассматриваемой дедуктивной теории не содержит принципа А&A?B, но включает все принципы минимальной логики, то, поскольку в последней содержится (доказуем) принцип А&A?B ("из противоречия следует отрицание любого утверждения"), противоречивость такой теории делает ее по существу столь же бессодержательной, как и в классич. и интуиционистском случаях, т.к. всякое ее предложение оказывается опровержимым. Если, наконец, рассматривать еще более ограниченные дедуктивные теории, основанные на не содержащей отрицания положительной логике, то для них первые два из данных выше определений Н. теряют смысл, но третье (существование недоказуемого предложения) сохраняет силу и также является необходимым условием их (теорий) "осмысленности" (понимаемой как соответствие к.-л. "содержательной ситуации", не всякое утверждение о к-рой является истинным). Н. дедуктивной теории есть д о с т а т о ч н о е условие того, чтобы она могла представлять "практический" (в том или ином смысле) интерес: Н. означает логическую возможность ситуации, описываемой этой теорией. Поскольку описываемая теорией "ситуация" лежит в н е самой теории, упоминавшееся до сих пор понятие в н у т р е н н е й (или с и н т а к с и ч е с к о й, или л о г и ч е с к о й) Н. оказывается тесно связанным, с т.н. в н е ш н е й (или с е м а н т и ч е с к о й) Н., заключающейся в том, что в теории не доказуемо никакое предложение, противоречащее фактам той (реальной или воображаемой) "действительности", к-рая отображается этой теорией (роль "действительности" при этом может играть к.-л. др. дедуктивная теория, и тогда внешнюю Н. можно понимать как Н. относительно этой теории – как о т н о с и т е л ь н у ю Н.). Конечно, понятия внутренней и внешней Н. не совпадают – хотя бы потому, что верное в "действительности" предложение вовсе не обязательно должно быть доказуемо в рассматриваемой теории (см. Полнота). В то же время понятия эти тесно связаны: согласно теоремам Геделя о полноте предикатов исчисления и теоремам Левенхейма – Сколема о существовании с ч е т н о й м о д е л и, каждая непротиворечивая дедуктивная теория (основанная на классич. исчислении предикатов) выполнима в области натуральных чисел (т.е. имеет в этой области интерпретацию, или модель). Т.о., из внутр. Н. достаточно широкого класса теорий вытекает их внешняя Н. (интерпретируемость, или, как иногда говорят, реализуемость). Метод интерпретаций (моделей), построенных средствами к.-л. др. теории, Н. к-рой в силу к.-л. соображений предполагалась известной (или фигурировала в качестве гипотезы для условного утверждения), долгое время был единств. способом доказательства Н. Обнаружение парадоксов (антиномий) теории множеств (средствами к-рой, в конечном счете, строились все модели в доказательствах относительной Н.) обусловило потребность в новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методах доказательства "абсолютной" (внутренней) Н., к-рые сами являлись бы в известном смысле абсолютными. Именно в порядке удовлетворения этой потребности возникла новая логико-матем. дисциплина, названная м е т а м а т е м а т и к о й (о к-рой подробнее см. Метатеория, Метод аксиоматический). (Проблема доказательства Н. встала и по отношению к логическим исчислениям, играющим осн. роль в предложенной Расселом и Уайтхедом логицистич. программе обоснования математики – см. Логицизм, Типов теория.) Однако, как показал К. Гедель (1931), для достаточно богатых (содержащих арифметику и, тем более, теорию множеств) дедуктивных теорий, использующих лишь "финитные" (т.е. состоящие из конечного числа шагов – ср. Бесконечная индукция) правила вывода, их Н. непременно влечет за собой их неполноту. Из этой т.н. 1-й теоремы Геделя получается важное следствие (2-я теорема Геделя), согласно к-рому Н. такого рода теорий может быть доказана лишь средствами, не отобразимыми в самих этих теориях; для таких теорий разрешения проблема также оказывается неразрешимой (о гносеологич. значении результатов Геделя см. Метатеория). Впрочем, и после результатов Геделя сохранили свое значение доказательства относительной Н., важными примерами к-рых являются результаты Геделя о Н. (совместимости) аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы (1940) и П. С. Новикова (1943, 1951), а также тесно связанная с Н. проблема независимости аксиоматических теорий и отдельных аксиом. Интунционисты и представители конструктивного направления в математике и логике, в отличие от последователей концепции Гильберта (и логицистов), придают Н. гораздо меньшее значение, не считая ее, прежде всего, достаточным основанием для признания осмысленности дедуктивной теории. (Это, впрочем, не помешало им получить ряд интересных и глубоких результатов о взаимной относительной Н. интуиционистских и классич. теорий – ср. Интуиционизм.) Вообще для исследований последних лет в области оснований математики характерно перенесение внимания с проблем Н. на др. вопросы, в частности связанные с семантикой логико-матем. исчислений. Все отчетливее проявляется тенденция к ревизии устоявшихся представлений о Н. (по крайней мере в рассматривавшемся до сих пор смысле этого понятия) как необходимом атрибуте любой матем. теории. Так, в рамках развиваемой сов. математиком А. С. Есениным-Вольпиным т.н. ультраинтуици- онистской концепции, в ходе осуществления к-рой ему удалось получить (выходящее за рамки арифметизируемых теорий и не подверженное потому возражениям, связанным с результатами Геделя) обоснование (Н.) нек-рых систем теории множеств, проводится мысль об о т н о с и т е л ь н о с т и понятия Н. и др. понятий традиц. математики и метаматематики и о возможности плодотворного использования для матем. нужд теорий, противоречивых в традиц. смысле, но с т. зр. указ. концепции содержащих лишь "кажущиеся" (не осуществимые допускаемыми этой концепцией методами) противоречия. Осн. роль в этих рассмотрениях играют: отказ от характерного для всей традиц. математики (включая интуиционистскую и конструктивную) абс. признания абстракции потенциальной осуществимости и даже абстракции отождествления, допущение о существовании различных неизоморфных между собой натуральных рядов (противоречащее общепринятым представлениям лишь постольку, поскольку последние исходят из молчаливого допущения о категоричности системы аксиом натурального ряда, т.е. об изоморфизме натуральных рядов), отказ (в связи со сказанным) от абс. признания принципа математической индукции, с одной стороны, и пользование (в метатеории) бесконечной индукцией – с другой, и т.п. Все эти идеи существ. образом связаны с анализом и пересмотром вопросов, относящихся к модальностям, далеко выходящими за традиц. рамки модальной логики. В математической логике наряду с Н. рассматривается также понятие ?-непротиворечивости (?-?.). Теория, содержащая арифметику, наз. ?-противоречивой, если для нек-рого свойства ? натуральных чисел в этой теории доказуемо каждое из предложений Р(0), P(1), ..., ?(n) [т.е. "0 обладает свойством Р", "1 обладает свойством Р", ..., "n (для любого n) обладает свойством Р" ... ] и, кроме того, доказуемо предложение ?nР(n) ["не все n обладают свойством Р" ], что в классич. исчислении предикатов эквивалентно ?nР(n) – "существует n, не обладающее свойством Р". ?-противоречивость теории не обязательно влечет ее противоречивость; примером ?-противоречивой, но непротиворечивой теории может служить любая непротиворечивая, включающая арифметику, теория, не содержащая символа Р, расширенная затем за счет введения этого символа нечетного множества теорем ?nР(n),Р(0),Р(1), Первый пример такой теории был указан А. Тарским. ?-?. была одним из предположений в первонач. доказательстве 1-й теоремы Геделя [амер. математику Дж. Б. Россеру (1936) удалось усилить теорему Геделя, заменив в ней условие ?-?. на более слабое условие H. ]. Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется библ.); Гедель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, пер. с англ., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, вып. 1 (23); Novikoff P. S., On the consistency of certain logical calculus, "Матем. сборник", 1943, т. 12 (54), No 2; его же, О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории множеств, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38; Gentzen G., Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie, "Mathematische Annalen", 1936, Bd 112, H. 4; eго же, Beweisbarkeit und Unbeweisbarkeit von Anfangsf?llen der transfiniten Induktion in der reinen Zahlentheorie, там же, 1943, Bd 119, H. 1; Hilbert D. und BernaysP., Grundlagen der Mathematik, Bd 1–2, В., 1934–39; G?del К., ?ber formal unentscheidbare S?tze der Principia Mathematica und verwandter System I, "Monatsh. Math. und Physik", 1931, Bd 38.